中级宏观经济学

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Model 1. 一个代表性行为人模型

在中级宏观经济学中，我们关注宏观经济行为的微观基础。在初级宏观经济学中，我们学过两部门、三部门的收入支出模型，在这里我们从微观基础出发，来探究消费者与企业之间的最优决策。

Setup

1. 我们假定经济活动只进行一期，经济中只存在一个代表性企业和代表性消费者。
2. 代表性消费者决定资本和劳动供给数量，代表性企业决定资本和劳动需求数量。
3. 消费者给定效用函数为 u(c, l)，其中 c 为消费，l 为闲暇。
4. 企业给定生产函数为 y = zf(k, n)，其中 z 为全要素生产率。
5. 消费者拥有资本 k_o 和时间 h。
6. 消费品，闲暇，资本三种商品可交易
7. 消费者和企业行为都是竞争性的，视市场价格为既定。消费品作为一般等价物，记价格为 1，闲暇价格即工资记为 w，资本价格即租金记为r。

消费者最优行为

考虑消费者最优行为，即最大化消费者效用函数。

为了最大化效用函数，我们考察消费者拥有的 k 和 h 两个变量。k 和 h 两个变量是独立的，因此分别分析。首先 k 唯一的约束条件是 0 ≤ k_s ≤ k_o，c 关于 k_s 单调递增，因此令 k_s = k₀；h 可分配 n 和 l，最后要使得效用函数最大。
为了使 c 尽可能大，应当给限制条件中的 1 式取等号，使其拥有的收入全部用于消费。因此忽略最后两个限制条件。

我们将限制条件简化如下：

s.t.  c = (1 + r)k₀ + w(h − l)

用拉格朗日乘数法求解这个最优化问题：

由上式可以消去变量 c 和 λ，只保留 w，r，l 三个变量，由此推出：

上式以隐函数形式给出了消费者的闲暇需求函数 l(w, r) ，并可以由此推出消费者的劳动供给函数 n_s = h − l(w, r)。

我们总结一下，我们通过求解消费者最优化问题得到了两个供给函数：

企业最优行为

考虑企业最优行为，即最大化企业利润

最优解的一阶条件就是两个边际产出条件。

对于每个实际工资 w，企业都会根据 zf₂ = w 来决定相应的劳动力数量 n_d；对于每一个实际的租金 r，企业都会根据 zf₁ = 1 + r 来决定相应的资本使用数量 k_d，因此，两个最优一阶条件就是企业的劳动需求曲线和资本需求曲线。

而由欧拉定理，对比例因子求导可以得到下式：

zf(k_d, n_d) = zf₁k_d + zf₂n_d

可得 π = 0，即企业无剩余利润。并且由于函数是一次齐次，规模报酬不变，在分析中就可以不用考虑厂商数量。

我们总结一下，通过求解企业利润的最优化问题，我们得到两个需求函数：

竞争均衡

由于得到了四个供给和需求函数，我们就可以求均衡解。

我们来定义竞争均衡：一个竞争均衡是满足以下三个条件的数量解 (c, l, n, k) 和价格解 (w, r)。

1. 代表性消费者在视 w 和 r 为给定的情况下选择最优的 c 和 l。
2. 代表性企业在在视 w 和 r 为给定的情况下选择最优的 n_d 和 k_d。
3. 市场出清

前面两个条件我们在消费者行为优化和企业行为最优中已经求解过，因此接下来我们关注市场出清问题。

在该模型中存在三个市场：劳动市场、消费品市场和资本租赁市场，在一个竞争均衡中，下述条件将成立，使得三个市场都供需均衡。

我们通过联立方程组来求解均衡解

由此可以解得一个仅含一个未知数 l 的方程，从而求得 l* 的均衡解：
zf₂(k₀, (h − l))u₁[zf(k₀, (h − l)), l] − u₂[zf(zf(k₀, (h − l)), l] = 0
将 l^* 反代入方程组求出其他未知参数。

社会福利最大化（帕累托最优）

我们通过帕累托最优来判断这一模型的均衡点是否给行为人带来最大福利。
我们假设一个生产和消费决策都由一个人作出的经济，该计划者通过求解下面这个最优化问题来实现帕累托最优：

将约束条件带入效用函数，可以得出其一阶最优条件：

方程左边是边际转换率，右边是消费和闲暇的边际替代率。

可以看到，帕累托最优的一阶条件和竞争均衡的一阶条件是完全相同的，因此在满足：1. 不存在外部性、2. 完全竞争、3. 不存在扭曲税的条件下，我们可以断定：
- 一个竞争均衡是一个帕累托最优（第一福利定律）
- 一个帕累托最优是一个竞争均衡（第二福利定律）

政府行为

我们将政府引入模型。政府通过向代表性消费者征收一笔总额税来为自己购买消费品进行融资。

我们用 g 代表政府购买的数量，我们把 g看作一个外生变量；让 τ 代表政府征收的总额税数量，政府的预算约束就为：
g = τ
由于设定 g 为外生变量，因此为了分析的简化，我们假设政府把购买的消费品全部销毁，即不影响代表性消费者的效用。

因此我们让政府支出以这样的方式进入消费者效用函数，由于我们已经假定政府购买全部销毁，因此v(g) = 0。
w(c, l, g) = u(c, l) + v(g)

在生产者端，我们为了简化分析假设生产只需要劳动一种投入要素，生产函数形式如下：
y = zn
求解这个最优化问题：

接下来我们来求解竞争均衡，此处竞争均衡和两行为人的模型相比多了一个条件：即政府用完其预算约束 g。由于帕累托最优和竞争均衡一致，此处我们直接通过求解帕累托最优条件来得到竞争均衡解。

我们对 g 求偏导来考察政府支出会如何影响竞争均衡：

可以看到消费和闲暇都会随政府购买增加而减少。政府支出会对私人消费产生挤出效应，消费的减少小于政府购买的增加；政府支出的增加会导致消费者劳动供给的增加。

比较静态分析

比较静态分析就是考察单个参数变动如何影响均衡解。在经济学的数学工具中我们已经发现，偏导的数学定义本身就包含了保持其他条件不变的条件，因此我们可以通过求偏导的方式来进行比较静态分析。如上面对 g 对 c，l 参数影响的分析就是比较静态分析。

e.g.

tobedone.

Model 2. 两期动态模型

两期动态模型实际上就是将 Model 1 扩充到两期来考察行为人的最优决策。Model 1 扩充到两期后就出现了将资本和劳动分两期进行分配的问题，同时为了引入债券市场将消费者扩充到 N 个。因此两期动态模型在 Model 1 基础上扩充两期约束条件并求解最优化问题。同时，两期模型的结论可以推广到多期，是无限期模型的基础。

纯交换的两期动态模型

setup

我们首先考察最简单的情况
1. 经济活动只进行两期
2. 经济中有 N 个消费者，没有企业
3. 消费者偏好用一个可分离效用函数来表示 v(c₁, c₂) = u(c₁) + βu(c₂)，其中 β 是贴现因子，定义 ρ 为贴现率则有 。β 反应了消费者对当前和未来的偏好程度。
4. 每一个消费者在第一期开始和第二期开始都可以获得一个外生的收入，记为 y₁ 和 y₂。为引入债券市场，我们假设每个消费者在所有两期获得的总收入相等，但在两期中分布不同。记所有 N个消费者在第一期、第二期获得的外生收入为 Y₁，Y₂。
即：

5. 假定储蓄通过购买债券进行，我们用 b_t 来定义消费者在时期 t 购买的债券数量，其在 t + 1 时期获得 (1 + r)b_t 的资金。我们假设初始期家庭不拥有任何债券 b₀ = 0。

消费者最优化行为

我们考虑消费者怎么分配自己两期的收入，其两期的预算约束方程如下：

理解一下上式
- 在第一期时：消费者在将其收入分成两部分，一部分用于消费，另一部分用于储蓄（放贷或借贷）。c₁ 直接用于当期消费为消费者提供效用 u(c₁)。而 b₁ 留待第二期再使用。
- 到第二期时：因为经济活动只进行两期，因此到第二期时消费者将手上的资金全部用尽以获得最大效用。此时消费者手中的资金包括第二期收入 y₂ 和第一期储蓄 (1 + r)b₁。c₂ 为消费者提供 βu₂(c₂) 的效用。
直觉上看，决定消费者储蓄多少的决策在于 β 和 r 两个变量。消费者面临的问题在于寻找一个合适的 (c₁, c₂, b₁) 组合来实现效用最大化。

有了预算约束方程，我们就可以由此求解消费者最优化问题：

我们通过构建拉格朗日函数来求解上述模型

合并上式，可以得到 欧拉方程

上述推导从数学上证明了我们之前的直觉，决定消费者储蓄多少在于 β 和 r 两个变量。假如消费者放弃一单位第一期的消费进行储蓄，那么在第二期可以获得 1+r 单位的消费品，并将未来的效用贴现到当期。当消费者在第一期放弃消费的效用损失等于第二期获得的效用增加时，消费者效用达到最优水平。

市场均衡

我们将经济中的 N 个消费者整合在一起来看市场均衡的情况。

一般均衡分析满足的目标是要确定经济中所有变量的解，需要满足下面两个要求：
1. 消费者把价格视为外生给定的情况下，寻求效用的最大化
2. 所有市场出清

当前模型中存在两个市场：消费品市场和债券市场。
消费品市场的出清条件是收入全部用于购买消费品，也就是：

债券市场出清的条件是借入的钱等于借出钱的总量，也就是：

消费品市场的出清条件在求解消费者最优的时候已经包括在预算约束里，因此在求市场均衡时只需要考虑债券市场出清。
通过联立欧拉公式和消费者预算约束可以求得参数 c₁, c₂, b₁ 的解析解。

解得：
c₁(r), c₂(r), b₁(r)
带入市场出清条件：

可以得到均衡利率 r^*。

实例

我们假定效用函数采用如下的特殊形式，求出数量解 (c₁, c₂, b₁)：
$$



$$
这里我们定义 ，这里 g 可以看作经济增长率，我们有 ，近似地 r^* = ρ + g。

考虑资本的两期动态模型

Setup

我们考虑加入资本要素的情况
1. 经济活动只进行两期
2. 经济中由 1 个代表性企业和 1 个代表性消费者所组成
3. 消费者偏好用一个可分离效用函数来表示 v(c₁, c₂) = u(c₁) + βu(c₂)
4. 厂商根据如下的生产函数进行消费品的生产 y = zf(k)，注意我们没有假设生产函数规模报酬不变，因此均衡时厂商利润可能不为 0
5. 代表性消费者在第一期期初拥有 k₀ 单位的商品禀赋，初始资本只能租给企业

消费者最优行为

消费者在时期 1 和时期 2 的预算约束方程分别如下：

这里 k₁^s 表示消费者在第一期的资本供给，由于规定了初始资本只能租给企业，因此理性的消费者会将初始资本全部用于 k₁^s，即 k₀ = k₁^s。s₁ 表示第一期的储蓄，是第二期生产的资本来源，代表了第二期的资本供给 k₂^s。

消费者最优行为实际上就是在求解这样一个最优化问题，要求得合适的 (c₁, c₂, s₁) 数量解：

构建拉格朗日函数来求解上述模型：

得出的欧拉方程将预算约束方程带入消去 c₁, c₂，实际上也就是消费者的资本供给函数

企业最优行为

企业的利润函数可以表述为：

处于简化考虑，我们假设折旧率 δ = 1。
企业把 r₁, r₂ 视作外生给定的情况下，我们选择一个最优的资本投入组合 (k₁^d, k₂^d) 来最大化企业利润。由此可得企业最优行为的两个一阶条件为：

对于每一个实际利率 r，企业都会根据 zf^′(k^d) = 1 + r 的原则选择一个相应的资本使用数量 k^d。企业的资本边际产出曲线就是企业的资本需求曲线。

市场均衡

再次复习一下市场均衡的定义：

一般均衡分析满足的目标是要确定经济中所有变量的解，需要满足下面两个要求：
1. 消费者把价格视为外生给定的情况下，寻求效用的最大化
2. 所有市场出清

在该模型中，有 r₁, r₂ 两个价格，有第一期的资本市场 k₁^s = k₀ = k₁^d、第二期的资本市场 k₂^s = k₂^d 和消费品市场 c₁ + c₂ = k₀ + [zf(k₁^d) − k₁^d] + [zf(k₂^d) − k₂^d] 三个市场需要出清。由瓦尔拉斯定理，我们可以忽略消费品市场出清条件。

现在有 8 个未知数需要求解 (c₁, c₂, r₁, r₂, k₁^s, k₂^s, k₁^d, k₂^d)，我们有两个预算约束条件，两个均衡条件，两个资本供给函数，两个资本需求函数，这八个方程求出八个未知数。

计划最优

计划者在资源的约束下最大化消费者的最大效用，生产者和消费者视作同一个人。计划者实际上通过求解如下一个问题来实现效用最大化。

用约束条件替换掉目标函数中的 c₁, c₂，上式简化为：

得到的结果即欧拉方程，我们由此进一步求得计划最优的解。
在这个模型中，竞争均衡解和计划最优解是完全相同的。

实例

tobedone

考虑资本和劳动的两期竞争均衡模型

Setup

我们考虑加入资本和劳动两种要素的情况
1. 经济活动只进行两期
2. 经济中由 1 个代表性企业和 1 个代表性消费者所组成
3. 消费者偏好用一个可分离效用函数来表示 v(c₁, l₁, c₂, l₂) = u(c₁, l₁) + βu(c₂, l₂) = u(c₁) + u(l₂) + βu(c₂) + βu(l₂)，这里采用分离函数的形式是为了计算上的简便处理。
4. 厂商根据如下的生产函数进行消费品的生产 y = zf(k, n)，这里为了计算的简便我们假设生产函数规模报酬不变，因此均衡时厂商利润为 0
5. 代表性消费者在第一期期初拥有 k₀ 单位的商品禀赋，初始资本只能租给企业；在每一期拥有 h 单位的时间，可以用于闲暇或劳动。

消费者最优化行为

消费者把 w 和 r 视为给定，在预算约束下求效用函数最大化，预算约束方程如下：

也就是说要求解下面这个最优化问题：

其中：

由此可以将最优化问题简化为：

构建拉格朗日方程：

最后求得三个式子：

第一个欧拉方程描述了消费者的储蓄函数 s₁，即消费者的第二期资本供给函数。
第二、三个方程描述了消费者在第一期和第二期的闲暇需求函数，即劳动供给函数。

企业的最优化行为

企业的利润函数如下：

简单化考虑假定资本折旧率 δ = 1

那么求出一阶最优条件如下：

以上四式就是企业在第一期和第二期的资本需求函数和劳动需求函数。

竞争均衡

该模型中存在四个价格(r₁, r₂, w₁, w₂)；
有五个市场第一期的资本市场、劳动市场；第二期的资本市场、劳动市场；以及消费品市场。

依旧，我们依据瓦尔拉斯定理忽略消费品市场出清条件
现在我们有 14 个未知数，我们通过 14 个方程构成方程组来求解这 14 个未知数。

计划最优

计划最优就是求解下面这个最优化问题，具体原理不再赘述：

我们依旧构建拉格朗日方程求解

总结