中级微观经济学

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Ⅰ

偏好与效用

偏好

我们从偏好的概念出发：当某人表示 “A优于B” 时，这意味着在考虑所有情况后，他感觉在情况 A 下比情况 B 下更好。这种偏好关系满足以下三个基本性质，我们称之为理性选择公理。

1. 完备性：如果 A 和 B 是任意两种情况，个人选择总能准确表达下面三种可能性之一：A 优于 B、A 优于 B、A 和 B有相同吸引力
2. 传递性：如果个人表示 A 优于 B，B 优于 C，那么他也一定会认为 A 优于 C
3. 连续性：如果个人表示 A 优于 B，那么充分接近 A 的情况也一定优于 B

效用

由于给定了理性选择公理，由此人们可以将偏好从小到大进行排序，经济学家称这种排序为效用。
我们可以赋予这些效用排序以具体数值，但这些具体数值仅用来代表选择次序，因此这组数值是不唯一的。数学上而言，效用被定义为一个保持固定偏好序的单调映射。

个人对这些商品的偏好序可以用形如下列效用函数形式来表示：
Utility = U(x₁, x₂, …, x_n)
这里的 x₁, x₂, …, x_n 分别代表个人再某一时期消费的 n 种商品的数量。这个函数只有在保序变换时是唯一的。

无差异曲线

大部分经济活动都涉及个人之间的自愿交易。当有人进行购买时，他就自愿为了更有价值的东西而放弃另外一些东西。为了考察这种自愿交易，我们可以用无差异曲线来讨论个人自愿的消费活动。

无差异曲线 一条无差异曲线表示一组对于个人来说福利相当的商品集合，这些组合带来相同水平的效用。

边际替代率 无差异曲线（U₁）上某一点斜率的相反数被称为这一点的边际替代率。用公式表达为：

特定偏好的效用函数

效用最大化与选择

效用最大化

求解效用最大化

就是求解这样一个最优化问题：

建立拉格朗日函数：

由此我们得到对于任意两种商品都有：

求解 λ 可以得到：

说明在最大效用点上，在每种商品上支出的每单位货币所能得到的边际效用是相等的，即每种商品的边际效用与边际成本之比相等。因此 λ 可以被认为是多消费一美元所能得到的边际效用。
效用最大化的必要条件可以写成：对于购买的每一种商品 i：

在边际上，一种商品的价格反映出一个人对于再购买一单位这种商品的支付意愿。

角点解

前面的一阶条件只适用于内部最大值，每种商品都要有一定消费量才成立。如果出现角点解那么条件需要改变：

当商品价格超过它为消费者带来的边际价值时，商品价格高于消费者最高支付意愿，消费者对它的购买量都将为 0。

间接效用

对于一个预算约束条件下的效用最大化问题，通常可以通过一阶条件来求得 x₁, x₂, …, x_n 的最优解。

代入效用函数中得到：

间接效用函数是一个值函数，最优值函数中只包含外生变量，便于研究外生变量对最优选择的影响。
由间接效用函数可以知道一次总付原则，就是说对消费者的一般购买力征税要比对特定商品征税更好。

支出最小化

效用最大化问题的对偶问题是支出最小化，就是求解下面这个最优化问题：

构造拉格朗日函数：

得到支出函数：
E(p₁, p₂, …, p_n, U)
支出函数和间接效用函数是彼此的反函数。

支出函数的性质

1. 齐次性
2. 支出函数关于价格单调不降，
3. 支出函数是价格的凹函数

收入效应与替代效应

需求函数

对于双商品模型需求函数表达式为：

需求函数是齐次的

补偿性需求函数

补偿性需求曲线 补偿性需求曲线表示在其他商品价格和效用水平不变的假设条件下，某一商品的价格与其购买量之间的关系，这条曲线只说明替代效应。从数值上来说，这条曲线表示了一个二维补偿性需求函数。
x^c = x^c(p_x, p_y, U)
补偿性需求函数与非补偿性需求函数的唯一区别在于是效用还是收入进入函数。在补偿性需求函数中效用保持不变，而在非补偿性需求曲线中，则是收入保持不变。

一种商品的补偿性需求函数可以通过支出函数对该商品的价格求偏导而获得。
消费者支出最小化问题可以表述为：

构造拉格朗日函数：

在这个问题中，支出函数 E(p, u) 就是该极值问题在最优解处的值函数。而补偿性需求函数 x_i^* = x^c(p, u) 就是使得支出最小化的最优商品组合。
根据包络定理，值函数对某个外生参数（这里是商品价格 p_i）的偏导数，等于拉格朗日函数在最优解处对该参数的偏导数。直接对拉格朗日函数求 p_i 的偏导：

由于最优消费量 x_i^* 本身就是补偿性需求 x^c(p, u)，结论直接得证：

![[Pasted image 20260415104439.png]]

斯勒茨基分解

离散情况下的斯勒茨基分解：
![[Pasted image 20260415115522.png]]

希克斯分解

离散情况下的希克斯分解：
![[Pasted image 20260415115559.png]]

斯勒茨基方程

上图已经说明，当消费者的收入刚好是给定效用水平所需时，x 的需求量在补偿性和非补偿性需求函数中是相等的。因此根据定义有：

求得导数有两项，第一项是补偿性需求曲线的斜率，也就是替代效应；第二项反映了 p_x 改变后，购买力改变而使 x 的需求量发生变化，也就是收入效应。负号表示价格变化与购买力变化呈反比关系。

为表示沿同一条无差异曲线的移动，替代效应记为：

由于收入和支出在函数 x(p_x, p_y, I) 是一回事，所以收入效应记为：

整理上式，斯勒茨基方程的最终形式为：

事实上，前面的 setup 使用了希克斯分解中购买力不变的概念——即效用水平不变。
我们比较一下两种分解需要用到的补偿：
斯勒茨基补偿：为了让你恰好能买得起原来的组合 (x, y)，当 x 的价格变动了 dp_x 时，需要补贴的金额是：dI_Slutsky = x ⋅ dp_x，此时的实际购买力为 p_xx + p_yy + x ⋅ dp_x
希克斯补偿：为了维持原来的效用 U 不变，需要看最低支出函数 E(p_x, p_y, U) 变了多少。根据谢泼德引理 ，支出变化量是：，此时为了维持原效用所需的名义收入也为 p_xx + p_yy + x ⋅ dp_x
因此在极微小的价格变动下，希克斯分解和斯勒茨基分解是等价的。

弹性表示

显示偏好

显示偏好 设有两种商品组合 A 和 B，如果在某一价格-收入水平上，消费者对 A 和 B 都有支付能力却只选择 A，我们就说 A 具有对 B 的“显示偏好”。该原则表明，在任何不同的价格-收入安排之下，因为行为人行为具有一致性，B 都不具有对 A 的显示偏好，如果消费者在某种情况下选择了 B，那一定是因为他买不起 A。

![[Pasted image 20260415135359.png]]

假设消费者对商品组合 C(x_C, y_C) 与商品组合 D(x_D, y_D) 的偏好是无差异的，设消费者在价格为 P_x^C, P_y^C 时选择商品组合 C，在价格为 P_x^D, P_y^D 时选择商品组合 D。
既然消费者不介意选择哪个商品组合，那么选择 C 时，D 的支付至少与 C 一样：
p_x^Cx_C + p_y^Cy_C ≤ p_x^Cx_D + p_y^Cy_D
同理选择 D 时有：
p_x^Dx_D + p_y^Dy_D ≤ p_x^Dx_C + p_y^Dy_C
重写以上两式有：
(p_x^C − p_x^D)(x_C − x_D) + (p_y^C − p_y^D)(y_C − y_D) ≤ 0
现在假设仅 x 价格改变，且 p_y^C = p_y^D，则有：
(p_x^C − p_x^D)(x_C − x_D) ≤ 0
说明效用不变时，价格与数量的变动方向相反，替代效应为负。

商品的需求关系

两种商品的情形

替代品与互补品

总替代品与总互补品 如果

则 x_i 与 x_j 被称为总替代品；如果

则 x_i 与 x_j 被称为总互补品。

也就是说，如果一种商品价格的上升导致另一种商品的购买量增多，则它们是总替代品。如果一种商品的价格上升会导致另一种商品的购买量减少，则它们是总互补品。由斯勒茨基方程可知，这个定义包括了替代效应和收入效应。
总定义具有非对称性，可能出现对 x₂ 而言，x₁ 是其替代品；同时对于 x₁而言，x₁ 是其互补品。

净替代品与净互补品

净替代品与净互补品 如果

则 x_i 与 x_j 被称为净替代品；如果

则x_i 与 x_j 被称为净替代品

这个定义仅从替代效应来判断两种商品是替代品还是互补品，这个定义是对称的。